| Главная » Файлы » математика |
Геометрическая прогрессия
| 06 Октября 10, 22:54 | |
| Геометрическая прогрессия Геометрическая прогрессия играет важную роль не только в школьном курсе алгебры, но и в дальнейшем обучении в высших учебных заведениях. Важность этого сравнительно небольшого раздела школьного курса заключается в его чрезвычайно широких областях применения, в частности он применяется в теории рядов, рассматриваемой на II – III курсах университета. Поэтому представляется необходимым дать здесь полное описание геометрической прогрессии, чтобы внимательный читатель мог повторить уже известный ему из школьного курса материал или узнать что-то новое. Необходимо дать определение геометрической прогрессии, так как не определившись о предмете разговора, невозможно продолжать сам разговор. Итак: числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число, называется геометрической прогрессией. Внесем некоторую ясность в данное выше определение: во- первых, мы требуем, чтобы первый член не был равен нулю для того, чтобы при умножении его на любое число мы в результате снова не получим ноль, для третьего члена опять ноль, и так далее. Получается последовательность нулей, которая не попадает под данное выше определение геометрической прогрессии и не будет являться предметом нашего дальнейшего рассмотрения. Во-вторых, число, на которое умножаются члены прогрессии, опять же не должно быть равно нулю по тем же причинам. В-третьих, предоставляем возможность вдумчивому читателю самому найти ответ на вопрос, почему мы умножаем все члены прогрессии на одно и то же число, а не, скажем, на разные. Ответ не так прост, как может показаться вначале. Из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого ее члена к предшествующему равно одному и тому же числу, т. е. b2 : b1 = b3 : b2 = ... = bn : bn-1 = bn+1 : bn = ... . Это число называется знаменателем геометрической прогрессии и обычно обозначается буквой q. Несколько слов необходимо сказать и о способах задания геометрической прогрессии. Для того чтобы задать геометрическую прогрессию (bn), достаточно знать ее первый член b1 и знаменатель q. Например, условиями b1 = 2, q = -5 (q < 0) задается геометрическая прогрессия 2, -10, 50, -250, ... . Эта прогрессия не является ни возрастающей, ни убывающей последовательностью. Следует заметить, что: последовательность называется возрастающей (убывающей), если каждый последующий член последовательности больше (меньше) предыдущего. Таким образом, если q > 0 (q 1), то прогрессия является монотонной последовательностью. Пусть, например, b1 = -3, q = 4, тогда геометрическая прогрессия -3, -12, -48, -192, ... есть монотонно убывающая последовательность. Однако, если q = 1, то все члены прогрессии равны между собой. В этом случае прогрессия является постоянной последовательностью. Любая геометрическая прогрессия обладает определенным характеристическим свойством. Это свойство является следствием самого правила задания геометрической прогрессии: последовательность (bn) является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго, есть среднее геометрическое соседних с ним членов, т. е: . Пользуясь этим свойством, можно находить любой член геометрической прогрессии, если известны два, которые стоят радом. Для нахождения n-ного члена геометрической прогрессии есть еще одна формула. Для того чтобы найти любой член геометрической прогрессии, необходимо чтобы она была задана, т. е. были известны значения b 1 и q: . Так как геометрическая прогрессия — это числовая последовательность, то мы можем найти ее сумму. Для нахождения суммы геометрической прогрессии применяют следующую формулу: Если в данную формулу подставить вместо bn его выражение в виде b1 q n-1, то получим еще одну формулу для вычисления суммы геометрической прогрессии: У геометрической прогрессии есть еще одно свойство, а именно: из определения знаменателя геометрической прогрессии следует, что b1 bn = b2 bn-1 = ..., т. е. произведение членов, равно отстоящих от концов прогрессии, есть величина постоянная. Наконец, нельзя не коснуться такого важного с научной точки зрения понятия, как бесконечной геометрической прогрессии при . Здесь наиболее важным понятием является понятие суммы бесконечной геометрической прогрессии: пусть (xn) — геометрическая прогрессия со знаменателем q, где Суммой бесконечной геометрической прогрессии, знаменатель которой удовлетворяет условию , называется предел суммы n первых ее членов при . Найти эту сумму можно по следующей формуле: Заканчивая описание геометрической прогрессии, хочется еще раз повторить, что за видимой простотой геометрической прогрессии скрывается большой прикладной потенциал этого раздела алгебры. Библиографический список 1. Крамор В. С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. Москва, 1990 г. 2. Теляковский С. А. Алгебра, учебник для 8 класса средней школы. Москва, 1987 г. | |
| Просмотров: 762 | Загрузок: 0 | | |
| Всего комментариев: 0 | |