| Главная » Файлы » математика |
Корни многочленов. Производные и кратные корни
| 06 Октября 10, 22:55 | |
| Корни многочленов. Производные и кратные корни Допустим, p = — некоторый многочлен над k, и . Значением многочлена p в точке a называется элемент поля k, равный . Он обозначается p(a). является гомоморфизмом . Ядро этого гомоморфизма состоит из всех многочленов, для которых p(a) = 0, то есть a является их корнем. Если | p, то a называется корнем кратности не ниже n. Введем понятие производной многочлена p. По определению это многочлен . Имеют место обычные правила вычисления производной: ; . В частности, если p(a) = 0, но , то корень a — простой (то есть не кратный). — наличие у многочлена корня a кратности не ниже n влечет наличие у его производной того же корня кратности не ниже (n -1). Элемент будет корнем многочлена p тогда и только тогда, когда (x - a) | p. Отсюда непосредственно вытекает, что неприводимый многочлен степени больше 1 не имеет корней. Поскольку ядро I — идеал, содержащий (x-a) и не совпадающий с k [x] (x - a + ), а каждый идеал в k[x] — главный, то I=(x-a). Многочлен степени n имеет не более n корней с учетом их кратности. Число n называется кратностью корня a, если | p, но не делит p. Предположим, что — множество всех корней многочлена p с указанными кратностями . При a b НОД(, ) =1, многочлен p делится на и потому deg (p) . Делимость многочленов Способ деления "углом" используется в арифметических действиях над коэффициентами. Он применяется к многочленам над любым полем k. Делимость многочленов позволяет для двух ненулевых многочленов p, s k [x] получить такие многочлены q и r = 0 (s делит p), либо deg (r) < deg (s), что p = q * s + r. Многочлен называется унитарным, если его старший коэффициент равен 1. Для любых двух ненулевых многочленов p и q над полем k можно найти такие многочлены u и v над тем же полем, что ОНД(p, q)= u*p + v*q. Возьмем многочлены u и v такие, чтобы сумма w = u * p + v * q имела наименьшую степень. Можно при этом считать w унитарным многочленом. Производим деление с остатком: p = s * w + r. После чего находим: r = p - s * w = p - s *(u * p + v * q) = (1- s * u)* p +(- s * v) q = U * p + V * q. R должно равняться нулю Докажем, что w | q. Так как W = ОНД(p, q)., то по определению w | W. Также W | p, W | q W | w. Значит, многочлены w и W унитарные. Поэтому W = w. Для любого числа многочленов ОНД можно доказать, что для подходящих многочленов . Данная формула сохраняется для бесконечного множества многочленов. В связи с тем, что их ОНД является ОНД некоторого их конечного подмножества. ОНД ненулевых многочленов p и s называется такой унитарный многочлен ОНД(p, s), что выполняются следующие условия: · q | p, q | s q | ОНД (p, s); · ОНД (p, s) | p; ОНД (p, s) | s. Всякий идеал в кольце многочленов над полем является главным. В самом деле, пусть p — ОНД всех многочленов, входящих в идеал I. Тогда , где . По определению идеала отсюда вытекает, что , а значит, I =(p). Для ненулевого многочлена р со старшим коэффициентом а ОНД (р, 0) = ОНД (0, р) = р/а; ОНД (0, 0)=0. Разложение на множители Неприводимый многочлен в кольце k [x] является аналогом простого числа в кольце Z. Каждый ненулевой многочлен p = можно разложить в произведение: p = * , где все многочлены неприводимы над k и имеют старший коэффициент равный 1. Предположим, что k — некоторое поле, p, q, s — многочлены над k. Если p = q * s, причем оба многочлена q и s имеют степень меньшую, чем p, то многочлен p называется приводимым. Иначе неприводим. Кратными называются множители одинаковые. Объединяя кратные множители, получим: p = . Свойства неприводимых многочленов Если p | и p неприводим, то либо p | , либо p | . Действительно, в противном случае НОД(p, ) = НОД(p, ) = 1, и потому по основной теореме теории делимости ; , откуда: , и значит, , то есть НОД(p, )=1 и, следовательно, deg (p)=0. Если p— неприводимый многочлен и d =ОНД(p, q) 1, то p | q. В самом деле, p = d*s, и если deg(s) > 0, то это противоречит неприводимости p, а, если deg(s)=0, то d | q p | q. Приведем несколько примеров. Многочлен неприводим над полем Q рациональных чисел. Многочлен над полем R вещественных чисел приводим, если . В данном выражении второй множитель имеет отрицательный дискриминант. По этой причине невозможно разложить его над R. Получаем над полем C комплексных чисел: , где = — кубический корень из 1. Понятие приводимости существенно зависит от того, над каким полем рассматривается многочлен. . Множитель x является кратным, остальные — простые. Следует отметить, что по определению многочлены первой степени неприводимы над любым полем. | |
| Просмотров: 1479 | Загрузок: 0 | | |
| Всего комментариев: 0 | |