| Главная » Файлы » математика |
Виды тригонометрических уравнений
| 06 Октября 10, 22:53 | |
| Виды тригонометрических уравнений 1. Простейшие тригонометрические уравнения Пример 1(при пробелах в примерах вставьте значение 3,14). 2sin(3x - /4) -1 = 0. Решение. Решим уравнение относительно sin(3x - /4): sin(3x - /4) = 1/2, отсюда по формуле решения уравнения sinx = а находим: 3х - /4 = (-1)n arcsin 1/2 + n, n Є Z; Зх - /4 = (-1)n /6 + n, n Є Z; 3x = (-1) n /6 + /4 + n, n Є Z; x = (-1) n /18 + /12 + n/3, n Є Z. Если k = 2n (четное), то х = /18 + /12 + 2 n/3, n Є Z. Если k = 2n + 1 (нечетное число), то х = - /18 + /12 + ((2 n + 1) )/3 = = /36 + /3 + 2n/3 = 13/36 + 2 n/3, n Є z. Ответ: х1 = 5/6 + 2n/3, n Є Z, x2 = 13/36 + 2n/3, n Є Z, или в градусах: х1 = 25° + 120 · n, n Є Z; x2 = 65° + 120° · n, n Є Z. Пример 2. sinx + 3cosx = 1. Решение. Подставим вместо 3 значение ctg /6, тогда уравнение примет вид: sinx + ctg /6 cosx = 1; sinx + (cos /6)/sin /6 · cosx = 1; sinx sin /6 + cos /6 cosx = sin /6; cos(x - /6) = 1/2 По формуле для уравнения cosx = а находим: х - /6 = ± arccos 1/2 + 2n, n Є Z; x = ± /3 + /6 + 2n, n Є Z; x1 = /3 + /6 + 2n, n Є Z; x1 = /2 + 2n, n Є Z; x2 = - /3 + /6 + 2n, n Є Z; x2 = - /6 + 2n, n Є Z; Ответ: x1 = /2 + 2n, n Є Z; x2 = - /6 + 2n, n Є Z. 2. Двучленные уравнения Пример 1. sin3x = sinx. Решение. Перенесем sinx в левую часть уравнения и полученную разность преобразуем в произведение: sin3x - sinx = 0; 2sinx · cos2x = 0 Из условия равенства нулю произведения получим два простейших уравнения: sinx = 0 или cos2x = 0; x1 = n, n Є Z, x2 = /4 + n/2, n Є Z. Ответ: x1 = n, n Є Z, x2 = /4 + n/2, n Є Z. 3. Разложение на множители Пример 1. sinx + tgx = sin2x/cosx. Решение. cosx 0; x /2 + n, n Є Z; sinx + sinx/cosx = sin2x/cosx; Умножим обе части уравнения на cosx: sinx · cosx + sinx - sin2x = 0; sinx(cosx + 1 - sinx) = 0; sinx = 0 или cosx - sinx +1=0; x1 = n, n Є Z; cosx - cos(/2 - x) = -1; 2sin /4 · sin(/4 - x) = -1; 2 · sin(/4 - x) = -1; sin(/4 -x) = -1/2; /4 - x = (-1) n+1 arcsin 1/2 + n, n Є Z; x2 = /4 - (-1) n+1 · /4 - n, n Є Z; x2 = /4 + (-1) n · /4 + n, n Є Z. Если n = 2n (четное), то x = /2 + n, если n = 2n + l (нечетное), то x = n. Ответ: x1 = n, n Є Z; x2 = /4 + (-I) n · /4 + n, n Є Z. 4. Способ подстановки Пример 1. 2sin2x = 3cosx. Решение. 2sin 2x - 3cosx = 0; 2 (l - cos2x) - 3cosx = 0; 2cos2x + 3cosx - 2 = 0 Пусть z = cosx. 2z 2 + 3z – 2 = 0; Д = 9 + 16 = 25; Д = 5; z1 = (-3 + 5)/4 = 1/2; z2 = (-3-5)/ 4 = -2 — не удовлетворяют условию для z. Тогда решим одно простейшее уравнение: cosx = 1/2; х = ± /3 + 2n, n Є Z. Ответ: х = ± /3 + 2n, n Є Z. 5. Однородные уравнения Однородные тригонометрические уравнения имеют такой вид: a sin2x + b sinxcosx + c cos2x = 0 (однородное уравнение 2-й степени) или a sin3x + b sin2x cosx + c sinx cos2x + d sin3x = 0 и т. д В этих уравнениях sinx 0, cosx 0. Решаются они делением обеих частей уравнения на sin2x или на cos2x и приводятся к уравнениям относительно tgx или ctgx. Пример 1. 3sin22x - 2sin4x + 3cos22x = 0. Решение. Разложим sin4x по формуле синуса двойного угла, получим уравнение; 3sin22x - 4sin2xcos2x + 3cos22x = 0 Разделим на cos 2 2x. Уравнение примет вид: 3tg22x – 4tg2x + 3 = 0 Пусть z = tg2x, тогда: 3z2 - 4z + 3 = 0; z1 = (4 +2)/2 3 = 6/2= 3; z2 = (4 – 2)/2= 1/3 tg2x = 3 или tg2x = 1/ 3 2x = /3 + n, n Є Z; 2x = /6 + n, n Є Z; x1 = /6 + n/2, n Є Z ; x2 = /12 + n/2, n Є z. Ответ: x1 = /6 + n/2, n Є Z ; x2 = /12 + n/2, n Є z. 6. Уравнение вида a sinx + b cosx = с Пример 1. 3sinx + 4cosx = 5 Решение. Разделим обе части уравнения на 5, тогда: 3/5sinx + 4/5cosx = 1 sin j = 4/5; cos j = 3/5; sin(x+ j ) = 1, x + j = /2 + 2n, n Є Z. Ответ: x = /2 - arcsin 4/5 + 2n, n Є Z. 7. Тригонометрические уравнения, в которых под знаком тригонометрической функции находится функция Особого внимания заслуживают тригонометрические уравнения со сложной зависимостью, когда под знаком тригонометрической функции находится какая-либо другая функция. Эти уравнения требуют дополнительного исследования множества решений. Пример 1. tg(x 2 + 5x)ctg 6 = 1. Решение. Запишем уравнение в виде: tg(x2 +5x) = tg6. Учитывая, что аргументы равных тангенсов отличаются на свои периоды, имеем: х2 + 5х = 6 + n, n Є Z; х 2 + 5х - (6+ n) = 0, n Є z; Д = 25 + 4(6 + n) = 49 + 4 n, n Є Z; х1,2 = (-5 ± 6(49 + 4 n))/2, n Є z Решение имеет смысл, если 49 + 4 n > 0, т.е. n -49/4 ; n -3. | |
| Просмотров: 1606 | Загрузок: 0 | | |
| Всего комментариев: 0 | |